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Innumerables debates en aulas, salas de conferencias y foros en línea han girado en torno a la cuestión de si 0,999… es igual a 1. Profesores, catedráticos y usuarios de Internet expertos en matemáticas afirman repetidamente que así es.
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Ofrecen todo tipo de explicaciones y pruebas, algunas de las cuales son plausibles. Pero como lo han demostrado las encuestas y los informes de campo, muchos otros todavía se niegan a creerles.
Así que profundicemos en ello. Primero, deberíamos pensar en cómo presentamos los números. En la escuela aprendemos a representar números de varias maneras. Comenzamos contando los dedos y luego aprendemos notación formal. Aprendemos a expresar números racionales como fracciones o decimales. Y descubrimos que las representaciones decimales de algunas fracciones son infinitas, como por ejemplo 1/3. Pero los dígitos después del punto decimal en estos casos no carecen totalmente de patrón; en cambio, comienzan a repetirse después de cierto punto: por ejemplo, 1/7 = 0,142857142857….
Mientras tanto, los números irracionales, como pi (π) o √2, tienen un número infinito de decimales sin un patrón periódico y no se pueden expresar como fracciones. Por lo tanto, para representarlos exactamente se elige un símbolo porque una notación decimal sólo aproximaría el valor real.
Algunas explicaciones
Entonces, ¿cómo deberíamos pensar en 0,999…? Algunos expertos sostienen que podemos comenzar con el hecho de que el número racional 1/3 corresponde al número decimal 0,333…. Puedes multiplicarlo por 3 para obtener 0,999…. Razonan que como 1/3 × 3 = 1, entonces 1 y 0,999… deben ser iguales.
Y hay algunas otras pruebas que demuestran que 0,999… es igual a 1. Como ejemplo, comience escribiendo el número periódico en notación decimal hasta el norteésimo dígito después del punto decimal: 9 × 1/10 + 9 × 1/100 + 9 × 1/1000 + … + 9 × 1/10norte + 1. Ahora puedes factorizar 0,9 porque aparece antes de cada suma.
Esto da: 0,9 × (1 + 1/10 + 1/102 + … + 1/10norte). Puedes reescribir el 0,9 como 1 – 1/10 para obtener una fórmula aún mejor: (1 – 1/10) × (1/10 + 1/102 + … + 1/10norte).
En otras palabras, tenemos lo que se llama una serie geométrica, algo que los matemáticos saben resolver desde hace varios cientos de años. En este caso tendrás: 1 – 1/10norte + 1. Y 0,9999…9, con 9 elevado a la norteº lugar, corresponde a 1 – 0.00…01, con el 1 en el (norte + 1)º lugar. Si consideramos ahora el número completo 0,999…, cuyos nueves se repiten infinitamente, entonces norte se vuelve infinito. En este caso, el término 1/10norte se vuelve cero. La brecha entre 0,999…9 y 1 se ha desplazado al infinito.
Este ejemplo es sólo una de muchas pruebas que muestran que 0,999… es igual a 1. De hecho, puedes encontrar de manera similar que 0,8999… = 0,9, 0,7999… = 0,8, y así sucesivamente. E incluso si cambiamos nuestro sistema numérico, estos patrones se mantienen. Por ejemplo, si cambiamos a la notación binaria, que consta únicamente de 0 y 1, surge el mismo problema: 0,111… (que corresponde a 1 × 1/2 + 1 × 1/4 + 1 × 1/8 + …) es igual a 1.
Así que parece haber un claro ganador en la discusión: el bando que defiende 0,999… = 1. Pero no tan rápido. Aunque las matemáticas son una materia en la que se pueden derivar correlaciones exactamente, con un margen mínimo de interpretación, todavía es posible discutir sobre los fundamentos.
Nuevas reglas para el juego
Por ejemplo, se podría simplemente especificar que, por definición, 0,999… es menor que 1. Matemáticamente hablando, este tipo de propuesta está permitida, pero cuando la examinas, descubres algunas consecuencias inusuales.
Por ejemplo, normalmente, si miras la recta numérica y eliges dos números cualesquiera, siempre hay infinitos más entre ellos. Puede calcular el valor medio de ambos, luego el valor medio de esta media y uno de los dos números, y así sucesivamente.
Pero si se supone que 0,999… es menor que 1, entonces no hay más números entre los dos valores. Has encontrado una ruptura en la recta numérica. Y esa brecha significa que los cálculos pueden volverse extraños. Porque 1/3 + 2/3 = 1 también se cumple en este sistema, correspondientemente, 0,333… + 0,666… = 1. Tan pronto como calculas una suma, tienes que redondear hacia arriba si terminas con un resultado en el extraño espacio entre 0,999… y 1. Este redondeo también se aplica a la multiplicación, de modo que 0,999… × 1 = 1, lo que significa una regla básica de las matemáticas, que cualquier cosa multiplicada por 1 es en sí mismo, ya no se aplica.
Y existen otros enfoques para deshacerse de la ambigüedad de 0,999… Por ejemplo, puede incursionar en el ámbito del análisis no estándar, que permite los llamados infinitesimales, o valores más cercanos a cero que cualquier número real.
Este cambio de marco permite distinguir entre 1 y 0,999… si difieren en un infinitesimal. Y no conduce a contradicciones (o no más que el cálculo convencional). Pero es tan complicado que la mayoría de los matemáticos no lo consideran una verdadera alternativa.
Entonces sí, todavía hay un debate sobre si 0,999… = 1. Por un lado, trabajando con números y cálculos familiares para la mayoría de nosotros, la ecuación es indudablemente cierta. Pero puedes explorar otras versiones de las matemáticas para obtener una respuesta diferente, siempre que también puedas considerar las curiosas consecuencias.
