Los matemáticos acaban de dar un gran paso adelante en uno de los problemas favoritos de todos los tiempos en este campo.
Las curvas (líneas onduladas en el espacio, como la trayectoria de un cometa o la tendencia del mercado de valores) son algunos de los objetos más simples de las matemáticas. Pero a pesar de que se han estudiado durante miles de años, los matemáticos todavía tienen algunas preguntas básicas sin respuesta.
Los teóricos de números han buscado particularmente puntos especiales en una curva con coordenadas en un incógnita–y cuadrícula que son números enteros o fracciones. Estos puntos enrarecidos a menudo están interrelacionados de maneras complicadas y significativas. «Somos matemáticos y nos preocupamos por la estructura», dice Barry Mazur, profesor de la Universidad Gerhard Gade en la Universidad de Harvard. Esa estructura a veces puede resultar útil; Los puntos racionales de las llamadas curvas elípticas dieron origen, por ejemplo, a toda una rama de la criptografía.
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Pero existe una gran colección de curvas, compuestas de numerosas familias infinitas, y cada una tiene su propia estructura de puntos racionales. Los teóricos de los números han soñado con encontrar una regla matemática concreta que se aplique a cada curva. Pero esa fórmula unilateral les ha eludido durante mucho tiempo.
Eso cambió hace unas semanas. En un artículo preimpreso publicado el 2 de febrero, tres matemáticos chinos colocaron el primer límite superior estricto del número de puntos racionales que puede tener cualquier curva. Las consecuencias matemáticas son ilimitadas.
«Este es realmente un resultado sorprendente que establece un nuevo estándar sobre qué esperar», dice Héctor Pasten, matemático de la Pontificia Universidad Católica de Chile, que no participó en el trabajo.
¿Finito o Infinito?
Las curvas se representan matemáticamente mediante ecuaciones simples llamadas polinomios. Son esencialmente un puñado de variables multiplicadas y sumadas.
Piensa en la ecuación incógnita2 + y2 = 1. Si incógnita y y son los dos ejes de un plano coordenado, esta ecuación representa un círculo. Cada punto del círculo corresponde a una solución diferente de esta ecuación. Por ejemplo, el punto incógnita = 1 y y = 0, escrito como el par de coordenadas (1, 0), está en el círculo: si pones esos valores para incógnita y y en la ecuación, obtienes 1 = 1, que es una solución válida.
Algunas soluciones, incluidas (1, 0) y (3⁄5, 4⁄5), son “racionales”, es decir, ambos incógnita y y son números enteros o razones de números enteros. Otras soluciones, como (1⁄√2, 1⁄√2), son “irracionales”. Introduzca estos valores para incógnita y yy obtendrás una solución válida a la ecuación: las coordenadas aterrizan justo en el círculo. Pero nunca podrás expresarlos en términos de números enteros y sus proporciones.
Los matemáticos griegos antiguos estaban obsesionados con encontrar puntos racionales a lo largo de las curvas. Se preguntaron cuántos de estos puntos especiales tiene una curva determinada. Es una de las preguntas más simples en matemáticas, pero ha molestado a los matemáticos durante milenios. «Estos problemas se encuentran en el corazón de la teoría de números», dice Shenxuan Zhou, matemático del Instituto de Matemáticas de Toulouse y coautor del nuevo resultado.
El círculo (un tipo particular de curva) tiene infinitos puntos racionales. Lo mismo es cierto para cualquier otra curva donde ni incógnita ni y se eleva a una potencia mayor que 2. Estas ecuaciones de “grado 2” siempre no tienen ningún punto racional o tienen un número infinito. El número de puntos racionales en una curva que es un grado mayor, grado 3, es a veces infinito y a veces finito.
Pero en 1922 Louis Mordell formuló una famosa conjetura que indicaba que la situación cambiaba drásticamente en el caso de las ecuaciones de grado superior. Decía que cuando el grado de una curva es 4 o más, siempre habrá un número finito de puntos racionales.
Sesenta y un años después, Gerd Faltings le dio la razón a Mordell; fue recompensado con la Medalla Fields, el honor más alto de las matemáticas. Pero la conjetura de Mordell, ahora llamada teorema de Faltings, no dice nada sobre cuántos puntos que tienen estas curvas.
Desde entonces, los matemáticos han buscado una fórmula para responder a esta pregunta. “Simplemente sabemos que hay es «Una fórmula», dice Pasten. «Está en algún lugar ahí fuera, y eso es bueno, pero la queremos».
Una regla para cada curva
Ahí es donde entra en juego la nueva prueba. Sus autores presentan una fórmula que se puede aplicar a cualquier curva del universo matemático, cualquiera que sea su grado. No dice con precisión cuántos puntos racionales tiene esa curva, pero da un límite superior de lo que puede ser ese número.
Las fórmulas anteriores de este tipo no se aplicaban a todas las curvas o dependían de la ecuación específica utilizada para definirlas. La nueva fórmula es algo que los matemáticos han esperado desde la prueba de Faltings, una afirmación «uniforme» que se aplica a todas las curvas sin depender de los coeficientes de sus ecuaciones. «Esta afirmación nos da una amplia comprensión», dice Mazur.
Depende sólo de dos cosas. El primero es el grado del polinomio que define la curva; cuanto mayor es el grado, más débil se vuelve la afirmación. Lo segundo de lo que depende la fórmula se llama “variedad jacobiana”, una superficie especial que se puede construir a partir de cualquier curva. Las variedades jacobianas son interesantes por derecho propio y la fórmula ofrece un camino tentador para estudiarlas también.
El nuevo resultado es un primer paso para saber cuántos puntos tienen las curvas, no sólo si tienen o no un número infinito de puntos. «Hay más preguntas en el horizonte», dice Pasten. «Ahora podemos ser más ambiciosos».
Las curvas también son sólo un primer punto de apoyo en el mundo matemático de las formas esculpidas por ecuaciones. Ecuaciones polinomiales con variables adicionales además incógnita y y Puede generar objetos más complicados, como superficies o sus análogos de dimensiones superiores, llamados «colectores». Las variedades son fundamentales para las matemáticas modernas, así como para la física teórica, donde se utilizan para trazar el espacio y el tiempo.
Todas estas preguntas sobre puntos racionales también son importantes para esos objetos de dimensiones superiores. Pasten y el matemático Jerson Caro establecieron un límite superior al número de puntos racionales para ciertos superficies en un artículo de 2023Por ejemplo. El nuevo resultado da a Pasten la esperanza de seguir avanzando en esta búsqueda mucho más amplia.
Este hallazgo es uno de varios resultados nuevos recientes sobre puntos racionales en curvas. En conjunto, el aumento podría significar un nuevo capítulo en esta saga milenaria.
«Ésta es un área apasionante y en rápido movimiento», afirma Mazur. «Algo grande está sucediendo en este momento».
